09.12.2013, 20:06
Weiter geht's:
Die Gleichungen sind noch viel zu unnötig kompliziert zum Weiterrechnen und lassen sich noch schön vereinfachen.
(1)* y + 5 = 2*(x-5) <=> y + 5 = 2x – 10 <=> y = 2x – 15
(2)* x + 13 = 3*(z – 13) <=> x + 13 = 3z – 39 <=> x = 3z – 52
(3)* z + 3 = 6*(y – 3) <=> z + 3 = 6y – 18 <=> z = 6y – 21
Zur besseren Übersichtlichkeit hier noch einmal die Endergebnisse:
(1)* y = 2x – 15
(2)* x = 3z – 52
(3)* z = 6y – 21
Jetzt wenden wir das Einsetzungsverfahren an. Wir kennen nun die Werte für x, y und z, nur dass bei den Ausdrücken rechts vom Gleichheitszeichen immer noch weitere Variablen sind. Das wollen wir nicht – die müssen weg!
Im ersten Schritt nehmen wir den Ausdruck für y, also 2x – 15, und setzen dies in (3)* ein. Warum? Weil wir dann, wenn wir (2)* und (3)** anschauen, nur noch zwei Variablen haben!
(3)** z = 6*(2x – 15) – 21
Das wird weiter aufgelöst:
(3)** z = 12x – 90 - 21 = 12x – 111
Jetzt setzen wir den neuen Wert für z, also 12x – 111, in die Gleichung (2)* ein:
(2)** x = 3*(12x – 111) – 52
Nun sind wir in der glücklichen Lage, eine Gleichung mit einer Unbekannten zu haben! Diese können wir nun vereinfachen und ausrechnen:
(2)** x = 36x – 333 – 52 = 36x – 385
x = 36x – 385 <=> 385 = 35x <=> 11 = x
Nun wissen wir: Bauer Jupp hat 11 Tiere auf seinem Hof!
Jetzt können wir den Wert für x einfach in (1)* einsetzen und erhalten dann y:
(1)** y = 2*11 – 15 = 22 – 15 = 7
Bauer Heinz hat 7 Tiere.
Dann berechnen wir z, indem wir den Wert von y in (3)* einsetzen:
(3)*’ z = 6*7 – 21 = 42 – 21 = 21
Bauer Friedel hat 21 Tiere auf dem Hof.
Dass das stimmt, kann man einmal durch die Probe beim Einsetzen in die Gleichungen testen:
(1) y - 1 + 6 = 2*(x - 6 + 1)
--> 7 – 1 + 6 = 12 = 2(11 – 6 + 1) Stimmt also.
Die anderen zwei analog.
Probe durch die Aufgabenstellung:
Bauer Jupp hat 11 Tiere. Er gibt Bauer Heinz 6 Ferkel, macht 5 Tiere. Dafür erhält er ein Pferd, macht 6 Tiere. Bauer Heinz muss dann doppelt so viele Tiere haben, also 12.
Test: Er hat 7 Tiere. Er gibt ein Pferd an Bauer Jupp, macht 6 Tiere. Dazu erhält er 6 Ferkel, macht 12 Tiere. Passt.
Die übrigen analog.
:-)
Die Gleichungen sind noch viel zu unnötig kompliziert zum Weiterrechnen und lassen sich noch schön vereinfachen.
(1)* y + 5 = 2*(x-5) <=> y + 5 = 2x – 10 <=> y = 2x – 15
(2)* x + 13 = 3*(z – 13) <=> x + 13 = 3z – 39 <=> x = 3z – 52
(3)* z + 3 = 6*(y – 3) <=> z + 3 = 6y – 18 <=> z = 6y – 21
Zur besseren Übersichtlichkeit hier noch einmal die Endergebnisse:
(1)* y = 2x – 15
(2)* x = 3z – 52
(3)* z = 6y – 21
Jetzt wenden wir das Einsetzungsverfahren an. Wir kennen nun die Werte für x, y und z, nur dass bei den Ausdrücken rechts vom Gleichheitszeichen immer noch weitere Variablen sind. Das wollen wir nicht – die müssen weg!
Im ersten Schritt nehmen wir den Ausdruck für y, also 2x – 15, und setzen dies in (3)* ein. Warum? Weil wir dann, wenn wir (2)* und (3)** anschauen, nur noch zwei Variablen haben!
(3)** z = 6*(2x – 15) – 21
Das wird weiter aufgelöst:
(3)** z = 12x – 90 - 21 = 12x – 111
Jetzt setzen wir den neuen Wert für z, also 12x – 111, in die Gleichung (2)* ein:
(2)** x = 3*(12x – 111) – 52
Nun sind wir in der glücklichen Lage, eine Gleichung mit einer Unbekannten zu haben! Diese können wir nun vereinfachen und ausrechnen:
(2)** x = 36x – 333 – 52 = 36x – 385
x = 36x – 385 <=> 385 = 35x <=> 11 = x
Nun wissen wir: Bauer Jupp hat 11 Tiere auf seinem Hof!
Jetzt können wir den Wert für x einfach in (1)* einsetzen und erhalten dann y:
(1)** y = 2*11 – 15 = 22 – 15 = 7
Bauer Heinz hat 7 Tiere.
Dann berechnen wir z, indem wir den Wert von y in (3)* einsetzen:
(3)*’ z = 6*7 – 21 = 42 – 21 = 21
Bauer Friedel hat 21 Tiere auf dem Hof.
Dass das stimmt, kann man einmal durch die Probe beim Einsetzen in die Gleichungen testen:
(1) y - 1 + 6 = 2*(x - 6 + 1)
--> 7 – 1 + 6 = 12 = 2(11 – 6 + 1) Stimmt also.
Die anderen zwei analog.
Probe durch die Aufgabenstellung:
Bauer Jupp hat 11 Tiere. Er gibt Bauer Heinz 6 Ferkel, macht 5 Tiere. Dafür erhält er ein Pferd, macht 6 Tiere. Bauer Heinz muss dann doppelt so viele Tiere haben, also 12.
Test: Er hat 7 Tiere. Er gibt ein Pferd an Bauer Jupp, macht 6 Tiere. Dazu erhält er 6 Ferkel, macht 12 Tiere. Passt.
Die übrigen analog.
:-)